用桌面应用程序绘制分形和函数

效果演示

运行程序，默认绘制出如图样式的朱莉亚集合
zhuliya
按下键盘数字“2”可绘制曼德博集
mandebo
按数字键盘上的“3”到“6”可展示朱利亚集合的不同种样式 如下图所示
按下3效果：
c3
按下4效果：
c4
按下5效果：
c5
按下6效果：
c6
按下数字键盘上的“7”到“9”以及“0”，进入函数的绘制模块。屏幕上会分别展示如下几何图形的绘制。
按下7效果：
7
按下8效果：
8
按下9效果：
9
按下0效果：
10
（除正弦函数外）
在函数的绘制模块中，按键盘上的WASD可以进行图像的移动。
特殊情况：按下“0”后（即绘制正弦函数的情况），再按AD不能进行图像的平移，按AD只能改变图像的振幅大小。而WS可以对图像进行上下平移。
你可以进入如下链接来观看展示效果。
录制链接,提取码:qect

理论原理

完整代码见：完整源码,提取码:t0gc

按键部分的核心代码

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case WM_KEYDOWN:
		switch (wParam) {
		case  '1':
			oper = '1';
			NUMx = 0.02;
			NUMy = 0.01;
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case '2':
			oper = '2';
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case '3':
			oper = '1';
			NUMx = 0.2;
			NUMy = 0.2;
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case '4':
			oper = '1';
			NUMx = 0.5;
			NUMy = 0.2;
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case '5':
			oper = '1';
			NUMx = 0.7;
			NUMy = 0.2;
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case '6':
			oper = '1';
			NUMx = 0.2;
			NUMy = 0.7;
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case '7':
			oper = '7';
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case '8':
			oper = '8';
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case '9':
			oper = '9';
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case '0':
			oper = '0';
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case 'W':			
			step = step - 10;
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case 'A':
			
			amplitude = amplitude - 10;
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case 'S':			
			step = step + 10;
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		case 'D':
			amplitude = amplitude + 10;
			InvalidateRect(hWnd, NULL, TRUE);
			break;
		}
		break;

此处的WM_KEYDOWN触发按键事件，是用来结合WM_PAINT屏幕绘制事件中的switch(oper)的不同事件(case)来达到不同的绘制效果。（除三角函数外）而WASD是通过改变像素点的横纵坐标加的值（step和amplitude）来使函数移动的。三角函数的情况中，amplitude改变的振幅大小，step使其上下移动（即改变像素点纵坐标的值）。这是最基础也最容易实现的部分。
以下是我对所展示的分形的数学意义的理解。
mandeboji
zhuliyaji
理解数学意义后，就可以写出绘制的代码了。更进一步的转换流程如下图。
曼德博集：
manzhuan
朱莉亚集（为了省事，朱利亚集合这里，我将Z0的横纵坐标分别以Cx,Cy表示。其中，定值复数的横纵坐标分别用NUMy、NUMy来表示，因为用变量表示能方便后续调试。按下数字按键的3到6时候，改变的其实是NUMx NUMy的值，这样就不用重复写绘制朱利亚集合的代码了。）：
zhuzhuan

朱利亚集合核心代码

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while (Iteration < IterationMax && ((Zx2 + Zy2) < ER2))
{
	if (Iteration == 0)
	{

		Zy = 2 * Cx*Cy + NUMy;
		Zx = Cx * Cx - Cy * Cy + NUMx;
		Zx2 = Zx * Zx;
		Zy2 = Zy * Zy;
		Iteration++;
	}
	if (Iteration >= 1)
	{
		Zx = Zx * Zx - Zy * Zy + NUMx;
		Zy = 2 * Zx*Zy + NUMy;
		Zx2 = Zx * Zx;
		Zy2 = Zy * Zy;
		Iteration++;
	}

}

函数的数学意义：
玫瑰花函数：x=a* sin(nθ)* cos(θ), y=asin(nθ) sin(θ)；对于方程式ρ=5* sin(3θ)、ρ=5 sin(2θ)、ρ=5 sin(3*θ/2)，分别对应的是三叶、四叶和六叶玫瑰线；
阿基米德螺旋线：x=(a+pθ)cos(θ),y=(a+pθ)sin(θ);
圆：x^2+y^2=c^2;即x=cos(θ),y=sin(θ);
正弦函数：y=sinx;

函数部分的核心代码

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switch (oper) {
			case '1':
			zhuliyajihe:
				{int iX, iY;
				double Cx, Cy;
				double PixelWidth = (CxMax - CxMin) / iXmax;
				double PixelHeight;
				PixelHeight = (CyMax - CyMin) / iYmax;
				COLORREF color;
				double Zx, Zy;
				double Zx2, Zy2;
				double a = 0; double b = 0;
				int Iteration;
				double ER2;
				ER2 = EscapeRadius * EscapeRadius;
				for (iY = 0; iY < iYmax; iY++)
				{
					Cy = CyMin + iY * PixelHeight;
					if (fabs(Cy) < PixelHeight / 2) Cy = 0.0;
					for (iX = 0; iX < iXmax; iX++)
					{
						Cx = CxMin + iX * PixelHeight;
						Zx = Zy = Zy2 = Zx2 = 0.0;
						Iteration = 0;
						while (Iteration < IterationMax && ((Zx2 + Zy2) < ER2))
						{
							if (Iteration == 0)
							{

								Zy = 2 * Cx*Cy + NUMy;
								Zx = Cx * Cx - Cy * Cy + NUMx;
								Zx2 = Zx * Zx;
								Zy2 = Zy * Zy;
								Iteration++;
							}
							if (Iteration >= 1)
							{
								Zx = Zx * Zx - Zy * Zy + NUMx;
								Zy = 2 * Zx*Zy + NUMy;
								Zx2 = Zx * Zx;
								Zy2 = Zy * Zy;
								Iteration++;
							}

						}
						if (Iteration == IterationMax)
							color = RGB(0, 0, 0);//前景色黑色
						else
							color = RGB(255, 255, 255);//背景色白色

						SetPixel(hdc, iX, iY, color);
						//
					}
				}
				}
				break;
			mandeboji:
			case '2':
				{int iX, iY;//像素位置
				double Cx, Cy;//数学公式中逻辑坐标
				double PixelWidth = (CxMax - CxMin) / iXmax;
				double PixelHeight;
				PixelHeight = (CyMax - CyMin) / iYmax;
				COLORREF color;
		
				double Zx, Zy;
				double Zx2, Zy2;
				double a = 0; double b = 0;
				int Iteration;//记录递归次数
				double ER2;
				ER2 = EscapeRadius * EscapeRadius;
				for (iY = 0; iY < iYmax; iY++)
				{
					Cy = CyMin + iY * PixelHeight;
					if (fabs(Cy) < PixelHeight / 2) Cy = 0.0;
					for (iX = 0; iX < iXmax; iX++)
					{
						Cx = CxMin + iX * PixelHeight;
						Zx = Zy = Zy2 = Zx2 = 0.0;
						Iteration = 0;
						while (Iteration < IterationMax && ((Zx2 + Zy2) < ER2))
						{

							Zy = 2 * Zx*Zy + Cy;
							Zx = Zx2 - Zy2 + Cx;
							Zx2 = Zx * Zx;
							Zy2 = Zy * Zy;
							Iteration++;
						}
						if (Iteration == IterationMax)
							color = RGB(0, 0, 0);//前景色黑色
						else
							color = RGB(255, 255, 255);//背景色白色

						SetPixel(hdc, iX, iY, color);
						//
					}
				}				
				}
				break;
			disanzhe:
			case '0':
				{int iX, iY;//像素位置
				double PixelWidth = (CxMax - CxMin) / iXmax;
				double PixelHeight;
				PixelHeight = (CyMax - CyMin) / iYmax;
				COLORREF color;
				for (iX = 0; iX < iXmax; iX++)
				{
					iY = sin(iX*3.1415926 / 180)*amplitude+step;
					color = RGB(0, 0, 0);//前景色黑色
					SetPixel(hdc, iX, iY, color);
						
					
				}				
				}//c3
				break;
			meiguihua:
			case '7':
			{
				int iX, iY;
				int iXII;
				double PixelWidth = (CxMax - CxMin) / iXmax;
				double PixelHeight;
				PixelHeight = (CyMax - CyMin) / iYmax;
				COLORREF color;
				for (iX = 0; iX < 800; iX++)
				{
					float ix = iX * 3.1415926 / 180;
					iXII = 50 * sin(3*ix/2)* cos(ix)+ amplitude;
					iY = 50 * sin(3*ix/2)* sin(ix)+step;
					color = RGB(0, 0, 0);//前景色黑色
					SetPixel(hdc, iXII, iY, color);


				}

			}
			break;//c4
		yuan:
			case '9':
			{
				
				int iX, iY;
				int iXII;
				double PixelWidth = (CxMax - CxMin) / iXmax;
				double PixelHeight;
				PixelHeight = (CyMax - CyMin) / iYmax;
				COLORREF color;
				for (iX = 0; iX < 800; iX++)
				{
					float ix = iX * 3.1415926 / 180;
					iXII = 50*cos(ix) + amplitude;
					iY = 50*sin(ix) + step;
					color = RGB(0, 0, 0);//前景色黑色
					SetPixel(hdc, iXII, iY, color);


				}
			}
			break;//c0
			luoxuanxian:
			case '8':
			{
				{

					int iX, iY;
					int iXII;
					double PixelWidth = (CxMax - CxMin) / iXmax;
					double PixelHeight;
					PixelHeight = (CyMax - CyMin) / iYmax;
					COLORREF color;
					for (iX = 0; iX < 800; iX++)
					{
						float ix = iX * 3.1415926 / 180;
						iXII = (5+5*ix) * cos(ix) + amplitude;
						iY = (5+5*ix) * sin(ix) + step;
						color = RGB(0, 0, 0);//前景色黑色
						SetPixel(hdc, iXII, iY, color);


					}
				}
			}
			break;//c8
}

因为圆、螺旋线、玫瑰花并不是狭义上一个x对应一个y的函数，在平面坐标中需要用参数方程表示，因而我引入了一个新的临时变量iXII。最终绘制在屏幕上的像素点横坐标其实是iXII的值，而不是iX的值。
ix这个临时变量则是我用来进行角度和弧度转换的。平面坐标上的点对应的实数值应该是弧度，而不是角度。计算机默认运算时调用的则是角度，所以要进行换算。

后记

分形部分：绘制曼德博集和茱莉亚集

函数部分：绘制圆、螺旋线、玫瑰花、正弦函数

后续我会更新程序设计分类的更多内容，比如如何用C编写生命游戏等。